Matemática: invenção ou descoberta?

Lamp bulb on a wooden table. Numbers and mathematical symbols in spiral from the lamp.
Seria a matemática uma descoberta ou um produto da criatividade e da inventividade humana?

Para alguns, a questão do título pode sugerir uma aventura evasiva através do significado das palavras; um mero devaneio semântico. Ainda há aqueles para os quais as ações de “descobrir” e “inventar” são equivalentes, e assim a discussão torna-se irrelevante. 

Entretanto, considerando a matemática de uma forma ou de outra, ela muda seu status diante de outras ciências e da sociedade e tem implicações diretas em seu ensino.

A diferença entre descoberta e invenção  

Quando se fala em descobrir “algo”, é admitido que tal “coisa” tem uma existência a priori. Um exemplo disso foi a descoberta da América no século XVI. O continente sempre existiu, não foi criado por europeus. Para eles, o que aconteceu foi um processo de descoberta. Da mesma forma, podemos considerar que os habitantes originais também descobriram a existência destes recém-chegados às suas terras. 

E uma invenção? Neste caso, a “coisa” inventada não existia de maneira alguma antes de quem a inventou. Por exemplo, a bússola magnética. O magnetismo da Terra preexiste a qualquer ação humana. Entretanto, a criação de um artefato que utiliza este fenômeno para ajudar a localizá-lo na superfície do planeta é uma invenção!

Trazendo esta discussão para o âmbito da matemática, retomaremos nossa pergunta inicial: descoberta ou invenção? Se entidades matemáticas como números e figuras geométricas fossem descobertas, isto significa que elas existiam de alguma forma. Se, pelo contrário, foram inventadas, significa que sua existência começou como o fim do processo de invenção. 

A seguir, apresentaremos alguns elementos constitutivos destas duas perspectivas.

Matemática como descoberta

As origens desta perspectiva são diluídas ao longo de sua própria construção histórica. No entanto, podemos identificar traços fortes que fundamentam tal perspectiva no pensamento grego clássico, particularmente em Platão e Aristóteles.

Plato (left) and Aristotle (right) in detail of the work “School of Athens”, by Raphael.
Platão (esquerda) e Aristóteles (direita) em detalhes da obra “Escola de Atenas”, de Rafael.

Segundo Platão, as ideias (eidos) existiriam “em e de” si mesmas, independentemente das ações de qualquer sujeito. Assim, as ideias habitariam uma dimensão própria, de pureza e imobilidade chamada mundo inteligível. Tais ideias se manifestariam no mundo em que vivemos, o mundo sensível. 

O acesso ao mundo inteligível seria reservado aos filósofos, detentores da razão e do verdadeiro conhecimento. No entanto, seria no mundo inteligível que as entidades matemáticas habitariam. Dessa forma, elas existiriam de forma plena e autônoma, dotadas de perfeição. Assim, o conhecimento da matemática significaria a posse da verdadeira ciência e do conhecimento. 

De que forma, então, as pessoas teriam acesso à matemática? Platão apresenta uma possível resposta a seus diálogos ‘Menon’ e ‘Phaedo’: a teoria das reminiscências (anamnese).

Reminiscência significa reminiscência, ou lembrança. Como, para Platão, as almas habitariam o mundo inteligível antes de se materializarem no mundo sensível, acessar a primeira significaria um exercício de lembrança da própria alma. Em Menon, Sócrates (como personagem platônico) propõe demonstrar a teoria ao outro personagem, Menon.

Sócrates pede a Menon que escolha um de seus servidores e o interroga longamente sobre um problema clássico de Geometria conhecido como “a duplicação do quadrado”. Ao longo de sua conversa com o servo, Sócrates problematiza as respostas dadas e cria novas perguntas que conduzem o raciocínio do servo e o colocam em dúvida ou em situações aparentemente insolúveis (aporia).

Sócrates: – Você percebe, Menon, a que ponto ele chegou em sua lembrança. No início ele não sabia qual era a linha básica da praça de oito pés; mesmo agora ele ainda não sabe, mas então ele pensou que sabia. Ele respondeu com confiança, como se soubesse, e não pensava que estava perdido, mas agora pensa que está perdido; e assim, embora não saiba, também não pensa que sabe. […] Vejam, então, como ele vai sair de sua perplexidade enquanto procura junto comigo. Não farei nada além de fazer perguntas, não de instruir. Veja se você me acha instruindo e explicando ao invés de pedir a opinião dele. […] Então estas opiniões estavam nele o tempo todo, não estavam? […] Estas opiniões têm sido até agora apenas agitadas, como em um sonho, mas se lhe fizessem este tipo de perguntas de várias maneiras, você sabe que no final, seu conhecimento sobre estas coisas seria tão perfeito quanto o de qualquer pessoa. […] Se ele sempre o tivesse, ele sempre teria sabido. Se ele o tivesse adquirido, não poderia tê-lo feito em sua vida atual.

Uma vez que as entidades matemáticas existiriam no mundo inteligível e seriam acessadas a partir da lembrança de uma vida anterior, esta perspectiva coloca a matemática como descoberta – ou seja, as verdades matemáticas são, portanto, descobertas, não inventadas. Talvez não uma descoberta no mesmo sentido anteriormente exemplificada. Não é uma busca por algo externo, tal como um continente ou um fenômeno natural. Pelo contrário, é uma busca dentro da própria alma.

Segundo Michael Foucault, tal concepção revestiu a matemática de idealidade e ocorreu ao longo da história, sendo questionada apenas para ser repetida e purificada. Esta visão metafísica da matemática espalhou sua influência até os dias modernos. No entanto, esta concepção também foi criticada por vários intelectuais, matemáticos e cientistas. Os principais argumentos desta crítica se baseiam na concepção de que a matemática seria uma invenção humana.

Matemática como invenção

Para o platonismo, as entidades matemáticas eram eternas, ou seja, não tinham começo. Entretanto, contestar tal ideia também significa discutir uma possível origem para a matemática. 

Alguns historiadores apoiam as origens da matemática na observação da natureza e do mundo ao seu redor pelo homem primitivo. De acordo com esta abordagem, a capacidade humana de reconhecer e comparar tamanhos, formas e quantidades constitui o núcleo do conhecimento matemático.

Outra abordagem aponta, através dos efeitos do trabalho. Isto não é antagônico com a primeira abordagem. Entendemos que ambos se complementam. Quando os hominídeos começaram a andar eretos, suas mãos estavam livres para fazer ferramentas, construir artefatos. Assim, noções como simetria, medidas, proporcionalidade e contagem se desenvolveram gradualmente de acordo com o desenvolvimento do próprio trabalho. A estas abordagens, somam-se também sinais que ligam o desenvolvimento da matemática à religião, ao fazer ritualístico e até mesmo em jogos e brinquedos.

Neste sentido, os objetos vistos na natureza nunca são formas geométricas exatas, por exemplo. Não há linhas retas perfeitas, círculos, quadrados na natureza. A criatividade, inventividade e espírito analítico do ser humano criaram modelos ideais destas formas naturais. Um exercício de transformação do concreto em abstrato. E mais ainda, ao utilizar tais modelos abstratos para desvendar os mistérios da natureza e resolver os problemas cotidianos, o ser humano renuncia a este conhecimento, utilizando-o no mundo “concreto” real.

Os índios sul-americanos identificaram o triângulo equilátero como uma solução ótima para a criação de um aparelho para peneirar a farinha de mandioca (Gerdes, 2013, p. 49).

Neste sentido, a matemática não é uma coleção de objetos e conceitos dotados de uma existência a priori. É uma invenção da humanidade em resposta a sua observação e ação sobre o mundo.

Referências & Leitura adicional

Foucault, Michel. (1982). A Arqueologia do saber.

Gerdes, Paulus. (2013). Ethnogeometry: awakening of geometrical thought in early culture. Lulu.

Plato. (2002). Menon.

Courant & Robbins.(2020). O que é a matemática?

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