Matemáticas: ¿descubrimiento o invención?

Lamp bulb on a wooden table. Numbers and mathematical symbols in spiral from the lamp.
¿Son las matemáticas un descubrimiento o un producto de la creatividad y la inventiva humanas?

Para algunos, la cuestión del título puede sugerir una aventura evasiva por los significados de las palabras; un mero ensueño semántico. Todavía hay quienes para los que las acciones de «descubrir» e «inventar» son equivalentes, y por tanto la discusión se vuelve irrelevante. 

Sin embargo, considerar las matemáticas de un modo u otro, cambia su estatus ante otras ciencias y la sociedad y tiene implicaciones directas en su enseñanza.

La diferencia entre descubrimiento e invención  

Cuando se habla de descubrir «algo», se admite que tal «cosa» tiene una existencia a priori. Un ejemplo de ello fue el descubrimiento de América en el siglo XVI. El continente siempre ha existido, no fue creado por los europeos. Para ellos, lo que ocurrió fue un proceso de descubrimiento. Del mismo modo, podemos considerar que los habitantes originales también descubrieron la existencia de estos recién llegados a sus tierras. 

¿Y una invención? En este caso, la «cosa» inventada no existía en absoluto antes de quien la inventó. Por ejemplo, la brújula magnética. El magnetismo de la Tierra es anterior a cualquier acción humana. Sin embargo, la creación de un artefacto que utiliza este fenómeno para ayudar a situarse en la superficie del planeta ¡es una invención!

Llevando esta discusión al ámbito de las matemáticas, retomaremos nuestra pregunta inicial: ¿descubrimiento o invención? Si las entidades matemáticas como los números y las figuras geométricas fueron descubiertas, esto significa que preexistían de alguna manera. Si, por el contrario, fueron inventados, significa que su existencia comenzó como el fin de un proceso de invención. 

A continuación presentaremos algunos elementos constitutivos de estas dos perspectivas.

La matemática como descubrimiento

Los orígenes de esta perspectiva se diluyen a lo largo de su propia construcción histórica. Sin embargo, podemos identificar fuertes rasgos que fundamentan dicha perspectiva en el pensamiento griego clásico, particularmente en Platón y Aristóteles.

Plato (left) and Aristotle (right) in detail of the work “School of Athens”, by Raphael.
Platón (izquierda) y Aristóteles (derecha) en detalle de la obra «Escuela de Atenas», de Rafael.

Según Platón, las ideas (eidos) existirían «en sí mismas», independientemente de la acción de cualquier sujeto. Así, las ideas habrían habitado una dimensión propia, de pureza e inmovilidad llamada mundo inteligible. Dichas ideas se manifestarían en el mundo en el que vivimos, el mundo sensible. 

El acceso al mundo inteligible estaría reservado a los filósofos, poseedores de la razón y del verdadero conocimiento. Sin embargo, sería en el mundo inteligible donde habitarían las entidades matemáticas. De este modo, existirían de forma plena y autónoma, dotadas de perfección. Así, conocer las matemáticas significaría la posesión de la verdadera ciencia y el conocimiento. 

¿De qué manera, entonces, las personas tendrían acceso a las matemáticas? Platón presenta una posible respuesta en sus diálogos «Meno» y «Fedón»: la teoría de las reminiscencias (anamnesis).

Reminiscencia significa recuerdo, o remembranza. Dado que, para Platón, las almas habrían habitado el mundo inteligible antes de materializarse en el mundo sensible, acceder al primero supondría un ejercicio de recuerdo del propio alma. En Meno, Sócrates (como personaje platónico) se propone demostrar la teoría al otro personaje, Meno.

Sócrates pide a Meno que elija a uno de sus criados y le interroga largamente sobre un problema clásico de Geometría conocido como «la duplicación del cuadrado». A lo largo de su conversación con el criado, Sócrates problematiza las respuestas dadas y crea nuevas preguntas que conducen el razonamiento del criado y lo ponen en duda o en situaciones aparentemente insolubles (aporías).

Sócrates: – Te das cuenta, Meno, a qué punto ha llegado en su recuerdo. Al principio no sabía cuál era la línea básica del cuadrado de ocho pies de área; incluso ahora todavía no lo sabe, pero entonces creía saberlo. Respondía con seguridad, como si lo supiera, y no creía estar perdido, pero ahora cree estarlo; y así, aunque no lo sabe, tampoco cree saberlo. […] Mira, pues, cómo saldrá de su perplejidad mientras busca junto a mí. No haré más que preguntar, no instruir. Observe si me encuentra instruyendo y explicando en lugar de pedirle su opinión. […] Así que estas opiniones estaban en él todo el tiempo, ¿no es así? […] Estas opiniones han sido hasta ahora sólo suscitadas, como en un sueño, pero si se le hiciera repetidamente este tipo de preguntas de diversas maneras, sabes que al final su conocimiento sobre estas cosas sería tan perfecto como el de cualquiera. […] Si siempre lo ha tenido, siempre lo habrá sabido. Si lo adquirió, no puede haberlo hecho en su vida actual.

Once mathematical entities would preexist in intelligible world and would be accessed from recollection of a previous life, this perspective places mathematics as discovery — i.e. Mathematical truths are therefore discovered, not invented. Perhaps not a discovery in the same sense previously exemplified. It isn’t a search for something external, such as a continent or a natural phenomenon. On the opposite, it’s a search inside the soul itself.

According to Michael Foucault, such a conception coated the mathematics with ideality and occurred throughout history, being questioned only to be repeated and purified. This metaphysical view of mathematics has spread its influence till modern days. Nevertheless, this conception has also been criticized by a number of intellectuals, mathematicians and scientists. The main arguments of this criticism are founded on the conception that mathematics would be a human invention.

Mathematics as invention

Para el platonismo, los entes matemáticos eran eternos, es decir, no tenían principio. Sin embargo, rebatir esta idea significa también discutir un posible origen de las matemáticas. 

Algunos historiadores apoyan los orígenes de las matemáticas en la observación de la naturaleza y del mundo circundante por parte de los primeros humanos. Según este enfoque, la capacidad humana de reconocer y comparar tamaños, formas y cantidades constituye el núcleo del conocimiento matemático.

Otro enfoque señala, a través de los efectos del trabajo. Esto no es antagónico al primer enfoque. Entendemos que ambos se complementan. Cuando los homínidos comenzaron a caminar erguidos, sus manos quedaron libres para fabricar herramientas, construir artefactos. Así, nociones como la simetría, las medidas, la proporcionalidad y el conteo se fueron desarrollando en función del desarrollo de la propia labor. Además de estos planteamientos, también hay indicios que vinculan el desarrollo de las matemáticas con la religión, el hacer ritual, e incluso en los juegos y juguetes.

En este sentido, los objetos que se ven en la naturaleza nunca son formas exactamente geométricas, por ejemplo. No hay líneas rectas perfectas, círculos o cuadrados en la naturaleza. La creatividad, la inventiva y el espíritu analítico del ser humano han creado modelos ideales de estas formas naturales. Un ejercicio de transformación de lo concreto a lo abstracto. Y aún más, al utilizar esos modelos abstractos para desentrañar los misterios de la naturaleza y resolver los problemas cotidianos, el ser humano resignifica ese conocimiento al utilizarlo en el mundo real «concreto».

Los indígenas sudamericanos identificaron el triángulo equilátero como una solución óptima para la creación de un aparato para tamizar la harina de mandioca (Gerdes, 2013, p. 49).

En este sentido, las matemáticas no son un conjunto de objetos y conceptos dotados de una existencia a priori. Es una invención de la humanidad en respuesta a su observación y acción sobre el mundo.

Referencias y lecturas adicionales

Foucault, Michel. (1982). The archaeology of knowledge: and the discourse on language. Vintage.

Gerdes, Paulus. (2013). Ethnogeometry: awakening of geometrical thought in early culture. Lulu.

Plato. (2002). Meno.

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